Question

若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．e＞2
D．1＜e＜2

Answer

先设出双曲线右支任意一点坐标，根据到右焦点的距离和到中心的距离相等，利用两点间距离公式建立等式求得x，进而利用x的范围确定a和c的不等式关系，进而求得e的范围，同时根据双曲线的离心率等于2时，右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2，最后综合求得答案．
【解析】
设双曲线右支任意一点坐标为（x，y）则x≥a，
∵到右焦点的距离和到中心的距离相等，
由两点间距离公式：x2+y2=（x-c）2+y2得x=，
∵x≥a，∴≥a，得e≥2，
又∵双曲线的离心率等于2时，c=2a，此时右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，
所以不能等于2
故选C．