Question

已知函数有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数，
（1）如果函数的值域是[6，+∞），求实数m的值；
（2）研究函数（常数a＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）若把函数（常数a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a），求g（a）的表达式．

Answer

（1）根据题意，易得由已知，函数在上是减函数，在上是增函数，则该函数当x=时，取得最小值，有题意知其最小值为6，可得，解可得答案；
（2）根据题意，求得的定义域为x≠0，再令t=x2，x≠0，有t＞0，则y=t+，那么该函数在上是减函数，在上是增函数，而t=x2在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
由复合函数的单调性分析可得答案；
（3）由（2）的结论，分可、、三种情况讨论，分别得到g（a）的表达式，即可得答案．
【解析】
（1）由已知，函数在上是减函数，在上是增函数，
∴
∴，3m=9
因此m=2．
（2）根据题意，，x≠0，
令t=x2，x≠0，则t＞0，
故y=t+，那么该函数在上是减函数，在上是增函数，
而t=x2在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
由复合函数的单调性，
当时，t=x2递增，t在上，则y=t+是减函数，故f（x）在上是减函数，
当x∈时，t=x2递增，t在上，则y=t+是增函数，故f（x）在上是增函数，
当x∈，t=x2递减，t在上，则y=t+是增函数，故f（x）在上是减函数，
当x∈，t=x2递减，t在上，则y=t+是减函数，故f（x）在上是增函数，
因此f（x）在，上是减函数，在，上是增函数．
（3）由（2）知，f（x）在上是减函数，在上是增函数，
于是当，即a＞16时，，
当，即1≤a≤16时，，
当，即0＜a＜1时，g（a）=f（1）=1+a．          
因此．