设．（1）设an=f（n）-g（n），求a1，a2，a3，并证明{an}为递减...

设

．
（1）设a_n=f（n）-g（n），求a₁，a₂，a₃，并证明{a_n}为递减数列；
（2）是否存在常数c，使f（n）-g（n）＞c对n∈N^*恒成立？若存在，试找出c的一个值，并证明；若不存在，说明理由．

（1）由“”，可得到a1，a2，a3，再由通项公式求得an+1-an，再判断它与0的大小，从而判断是否为递减的等差数列．（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在常数c，使f（n）-g（n）＞c对n∈N*恒成立，再利用ln（1+x）＜x对x＞0恒成立，通过取即可得到证明，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解析】（1）．由此a1=1．，．又．构造函数h（x）=ln（1-x）+x．x∈（0，1）由知h（x）在[0，1）上为单减函数．从而当x＞0时，h（x）＜h（0）=0 取．有即an+1-an＜0 故{an}为递减数列．（2）存在如C=0等，下证注意到．这只要证即可． ∵ln（1+x）＜x对x＞0恒成立， ∴取即可得上式成立．从而此时常数c=0．

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考点分析：

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设f（x）=a^x（a＞0且a≠1），g（x）为f（x）的反函数．
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