Question

已知函数
（1）求反函数f^-1（x）；
（2）若数列{a_n}（a_n＞0）的前n项和S_n满足：a₁=2，S_n=f^-1（S_n-1）（n≥2）
①求数列{a_n}的通项公式．
②令，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer

（1）函数，得，两边平方，并整理，得x2-（2y+4）x+y2-4y+4=0，x≥2．所以x=y+2+2=，x，y互换，得反函数f-1（x）．
（2）①由，知Sn=2n2，由此能求出数列{an}的通项公式．
②由bn=4（2n+n）-2，由求出数列{bn}前n项和Tn．
【解析】
（1）∵函数
∴，
两边平方，得8x2=x2+y2+4-2xy-4y+4x，
整理，得x2-（2y+4）x+y2-4y+4=0，x≥2．
∴
=y+2+2=，
x，y互换，得．
（2）①∵a1=2，Sn=f-1（Sn-1）（n≥2）
．
∴
∴，
∵，
∴，
∴Sn=2n2，
∵a1=S1=2，
an=Sn-Sn-1=2n2-2（n-1）2=4n-2，
当n=1时，4n-2=2=a1，
∴an=4n-2．
②∵，
且an=4n-2．
∴bn=4（2n+n）-2，
∴Tn=4（1+2+3+…+n）+4（2+22+23+…+2n）-2n
∴．