Question

（已知函数f（x）=k[（log_ax）²+（log_xa）²]-（log_ax）³-（log_xa）³，（其中a＞1），g（x）=x²-2bx+4，设t=log_ax+log_xa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对任意的x₁∈（1，+∞），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），试求实数b的取值范围．．

Answer

（I）根据完全平方公式和立方和关系进行化简变形，然后用t=logax+logxa代入，即可将f（x）表示成t的函数h（t），欲使h（t）在定义域内有极值，只需h'（t）=0在（2，+∞）内有解，且h'（t）的值在根的左右两侧异号，h'（2）＞0，即可求出所求；
（II）对任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2）等价于x∈（1，+∞）时，f（x）max≤g（x）max，x∈[1，2]，然后利用导数研究最大值即可求出实数b的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵（logax）2+（logxa）2=（logax+logxa）2-2=t2-2，
（logax）3+（logxa）3=（logax+logxa）[（logax+logxa）2-3]=t3-3t，
∴h（t）=-t3+kt2+3t-2k，（t＞2）∴h'（t）=-3t2+2kt+3
设t1，t2是h'（t）=0的两根，则t1t2＜0，
∴h'（t）=0在定义域内至多有一解，
欲使h（t）在定义域内有极值，只需h'（t）=-3t2+2kt+3=0在（2，+∞）内有解，且h'（t）的值在根的左右两侧异号，∴h'（2）＞0得
综上：当时h（t）在定义域内有且仅有一个极值，当时h（t）在定义域内无极值
（Ⅱ）∵对任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2）等价于x∈（1，+∞）时，f（x）max≤g（x）max，x∈[1，2]，
又k=4时，h（t）=-t3+4t2+3t-8 （t≥2），
h'（t）=-3t2+8t+3t∈（2，3）时，h'（t）＞0，而t∈（3，+∞）时，h'（t）＜0
∴h（t）max=h（3）=10，
∴∴