Question

如图，在直角坐标系xOy中，过点P（2，0）的直线l交抛物线y²=2x于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）求x₁x₂与y₁ y₂的值；
（2）以线段MN为直径作圆H（H为圆心），证明抛物线的顶点在圆H的圆周上．

Answer

（1）先设出直线方程，联立抛物线方程消去x可得y2-2my-4=0，再根据点M，N的纵坐标y1与y2是上述方程的根，可求出
y1 y2的值；最后根据M（x1，y1），N（x2，y2）两点是抛物线上的点代入再结合上面求的结论即可求出求x1x2的值；
（2）设直线OM，ON斜率分别为k1，k2，求出k1•k2==-1即可证明结论．
【解析】
（1）因为直线l不可能是X轴，所以设l的方程为x=my+2，
将其代入y2=2x，消去x可得y2-2my-4=0，
点M，N的纵坐标y1与y2是上述方程的根，故y1•y2=-4．
由y12=2x1，y22=2x2，相乘得（y1y2）2=4x1x2，
所以x1•x2==4．
（2）证明：直线OM，ON斜率分别为k1，k2，
则．
因此k1•k2==-1．
所以OM⊥ON．
所以抛物线的顶点O在圆H的圆周上．