Question

动点P到定点F（1，0）和定直线x=3的距离之和为4；
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点F做斜率为k的直线交P点的轨迹于AB两点|AB|=f（k），求f（k）的最大值．

Answer

（1）由题设条件动点P到定直线l：x=3与到定点F（1，0）的距离之和为4，由此等量关系建立方程求得动点P的轨迹方程；
（2）设直线AB的方程为y=k（x-1），易求得曲线y2=4x与曲线y2=-12（x-4）的交点为和，从而可得到，当A、B两点都在曲线y2=4x（0≤x≤3）上时，；当点A在曲线y2=4x（0≤x≤3）上，点B在曲线y2=-12（x-4）（3≤x≤4）上时，．进而分类讨论即可．
【解析】
（1）设P（x，y），由题意有
当x≥3时，有，整理得y2=-12（x-4）；
当x＜3时，有，整理得y2=4x
故点P的轨迹方程为
（2）设直线AB的方程为y=k（x-1），易求得曲线y2=4x与曲线y2=-12（x-4）的交点为和，从而可得到，当A、B两点都在曲线y2=4x（0≤x≤3）上时，；当点A在曲线y2=4x（0≤x≤3）上，点B在曲线y2=-12（x-4）（3≤x≤4）上时，．
（i）当A、B两点都在曲线y2=4x（0≤x≤3）上时，设A（x1，y1），B（x2，y2）
由
于是，，所以，当且仅当时取等号．
（ii）当点A在曲线y2=4x（0≤x≤3）上，点B在曲线y2=-12（x-4）（3≤x≤4）上时，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
当时，由，解得
由，解得
因为曲线y2=4x（0≤x≤3）的准线为x=-1，焦点为F（1，0），曲线y2=-12（x-4）（3≤x≤4）的准线为x=7，焦点为F（1，0），所以|FA|=x1+1，|FB|=7-x2，所以
故，当且仅当时取等号．
当k=0时，易知|AB|=4．
综上知，f（k）的最大值为．