Question

半径为的圆C的圆心C在射线y=-2x（x≤0）上，且截y轴所得的弦长为1．
（1）求圆C的方程．
（2）设P为圆C上一动点，O为坐标原点，求△PCO的重心G的轨迹方程．

Answer

（1）根据题意，假设圆心的坐标，利用点线距离，垂径定理及勾股定理，求弦长，故可求圆C的方程；
（2）设G（x，y），P（x，y），由重心坐标公式有：，利用点P在圆C上，可得方程．
【解析】
（1）因圆心C在射线y=-2x（x≤0）上，故设圆心为C（a，-2a）（a≤0），又该圆截y轴所得的弦长为1，
故由垂径定理及勾股定理知，圆心到y轴的距离为，
即|a|=1，所以a=-1，从而圆C的方程为．
（2）设G（x，y），P（x，y），由重心坐标公式有：，又点P在圆C上，
故，
所以有．
又P、C、O为三角形的三顶点，
故点P在不直线y=-2x上，从而点G也不在直线y=-2x上，由
所以△PCO的重心G的轨迹方程为（去除两点）．