Question

已知函数f（x）=log₂（x+m），且f（0），f（2），f（6）成等差数列．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试比较f（a）+f（c）与2f（b）的大小．

Answer

（1）把x=0，2，6代入函数解析式，表示出f（0），f（2），f（6），由f（0），f（2），f（6）成等差数列，根据等差数列的性质列出关系式，利用对数的运算法则化简后，得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）把x=a，c及b分别代入函数解析式表示出f（a）+f（c）及f（b），根据a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质得到关系式b2=ac，先表示出两真数之差（a+2）（c+2）-（b+2）2，利用多项式的乘法法则及完全平方公式化简后把b2=ac代入，再利用基本不等式求出a+c的最小值，判断出差大于0，进而得到（a+2）（c+2）与（b+2）2的大小，根据对数函数的底数2大于1，对数函数为增函数，可判断出f（a）+f（c）与2f（b）的大小．
【解析】
（1）由f（0），f（2），f（6）成等差数列，
得2log2（2+m）=log2m+log2（6+m），（2分）
即 （m+2）2=m（m+6）（m＞0），∴m=2（5分）
（2）f（a）+f（c）=log2（a+2）（c+2），2f（b）=log2（b+2）2（7分）
∵b2=ac，
∴（a+2）（c+2）-（b+2）2=2（a+c）-4b（9分）
∵，
∴2（a+c）-4b＞0（11分）
∴log2（a+2）（c+2）＞log2（b+2）2，
则f（a）+f（c）＞2f（b）．（12分）