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已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每条棱长均为a,M为棱A1C1上的动点. (1...

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每条棱长均为a,M为棱A1C1上的动点.
(1)当M在何处时,BC1∥平面MB1A,并证明之;
(2)在(1)下,求平面MB1A与平面ABC所成的二面角的大小;
(3)求B-AB1M体积的最大值.

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(I)当M在A1C1中点时,BC1∥平面MB1A.连接NB1并延长与CB延长线交于G,在△CGN中,利用BC1为中位线得BC1∥GN,从而可证BC1∥平面MAB1; (II)可证∠MAC为平面MB1A与平面ABC所成二面角的平面角,进而可求; (Ⅲ)设动点M到平面A1ABB1的距离为hM,利用等体积进行转化,从而可求B-AB1M体积最大值. 【解析】 (I)当M在A1C1中点时,BC1∥平面MB1A ∵M为A1C1中点,延长AM、CC1,使AM与CC1延长线交于N,则NC1=C1C=a 连接NB1并延长与CB延长线交于G,则BG=CB,NB1=B1G     (2分) 在△CGN中,BC1为中位BC1∥GN 又GN⊂平面MAB1,∴BC1∥平面MAB1 (4分) (II)∵△AGC中,BC=BA=BG∴∠GAC=90° 即AC⊥AG     又AG⊥AA1    AA1∩AC=A∴AG⊥平面A1ACC1,AG⊥AM(6分) ∴∠MAC为平面MB1A与平面ABC所成二面角的平面角∴ ∴所求二面角为 arctan2.(8分) (Ⅲ)设动点M到平面A1ABB1的距离为hM. 即B-AB1M体积最大值为.此时M点与C1重合.   (12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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