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二面角α-EF-β的大小为120°,A是它内部的一点AB⊥α,AC⊥β,B,C分...

二面角α-EF-β的大小为120°,A是它内部的一点AB⊥α,AC⊥β,B,C分别为垂足.
(1)求证:平面ABC⊥β;
(2)当AB=4cm,AC=6cm,求BC的长及A到EF的距离.

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(1)根据AB⊥α,EF⊂α,可知EF⊥AB,同理EF⊥AC,AB,AC是两条相交直线,从而EF⊥平面ABC,故平面ABC⊥平面β. (2)设平面ABC与EF交于点D易证,∠BDC是二面角α-EF-β的平面角,在△ABC中,∠BAC=60°,AB=4 cm,AC=6 cm时,故可求BC,AD是A到EF的距离,利用正弦定理,可求AD的长. 【解析】 (1)∵AB⊥α,EF⊂α,∴EF⊥AB, 同理EF⊥AC,AB,AC是两条相交直线, ∴EF⊥平面ABC, ∵EF⊂β,∴平面ABC⊥平面β. (2)设平面ABC与EF交于点D,连接BD,CD,则BD,CD⊂平面ABC,∵EF⊥平面ABC,∴EF⊥BC,EF⊥DC,∠BDC是二面角α-EF-β的平面角,∠BCD=120°,A,B,C,D在同一平面内,且∠ABD=∠ACD=90°, ∴∠BAC=60°,当AB=4 cm,AC=6 cm时, BC= 又∵A,B,C,D共圆,∵AD是直径.∵EF⊥平面ABC,AD⊂平面ABC, ∴AD⊥EF,即AD是A到EF的距离,由正弦定理,得AD==(cm)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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