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已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R)其中a∈R. (Ⅰ)...

已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R)其中a∈R.
(Ⅰ)若函数f(x)没有零点,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值.
(Ⅰ)令f(x)=0得(x2+ax-2a2+3a)ex=0.则x2+ax-2a2+3a=0.由于函数f(x)没有零点,故△<0,从而得解. (Ⅱ)求出函数的导数,对a进行讨论,分别判断函数的单调性,最后根据a的不同取值得出的结论综上所述即可. 【解析】 (Ⅰ)令f(x)=0得(x2+ax-2a2+3a)ex=0. ∵ex>0, ∴x2+ax-2a2+3a=0. ∵函数f(x)没有零点, ∴△<0 ∴  (Ⅱ)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex 令f′(x)=0  解得x=-2a  或x=a-2以下分三种情况讨论. (1)若a>,则-2a<a-2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下表: 所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数在(-a,a-2)内是减函数 函数f(x)在x=2处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a 函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2 (2)若a<则-2a>a-2 当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下表: 函数f(x)在x=2处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a 函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2 (3)若a=则-2a=a-2函数f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,此时函数无极值
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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