(Ⅰ)令f(x)=0得(x2+ax-2a2+3a)ex=0.则x2+ax-2a2+3a=0.由于函数f(x)没有零点,故△<0,从而得解.
(Ⅱ)求出函数的导数,对a进行讨论,分别判断函数的单调性,最后根据a的不同取值得出的结论综上所述即可.
【解析】
(Ⅰ)令f(x)=0得(x2+ax-2a2+3a)ex=0.
∵ex>0,
∴x2+ax-2a2+3a=0.
∵函数f(x)没有零点,
∴△<0
∴
(Ⅱ)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex
令f′(x)=0 解得x=-2a 或x=a-2以下分三种情况讨论.
(1)若a>,则-2a<a-2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下表:
所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数在(-a,a-2)内是减函数
函数f(x)在x=2处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2
(2)若a<则-2a>a-2
当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下表:
函数f(x)在x=2处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2
(3)若a=则-2a=a-2函数f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,此时函数无极值