Question

二次函数f（x）=ax²+2x-1的值域是（-∞，0]，则函数y=f[f（x）]的值域是    ．

Answer

由二次函数的值域知，a＜0，函数最大值是0，解出a的值，得到函数解析式，进而求得y=f[f（x）]的解析式，再求值域．
【解析】
∵二次函数f（x）=ax2+2x-1的值域是（-∞，0]，∴f（x）图象是开口向下的抛物线，f（x）最大值为0，
即=0，∴a=-1，∴f（x）=-x2+2x-1=-（x-1）2，
∴y=f[f（x）]=-（f（x）-1）2=-[（x-1）2-1]2=-（x-1）4+2（x-1）2-1
∵-（x-1）4≤0，2（x-1）2≤0，f[f（x）]≤-1
∴函数y=f[f（x）]的值域是 （-∞，-1]，
故答案为（-∞，-1]．