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已知圆M:(x-1)2+y2=1,A(,),B(0,t),C(0,t-4)(其中...

已知圆M:(x-1)2+y2=1,A(manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网),B(0,t),C(0,t-4)(其中0<t<4).
(1)过点A的直线l被圆M截得的弦长为manfen5.com 满分网,求直线l的方程;
(2)若直线PB,PC都是圆M的切线,且点P在y轴右侧,求△PBC面积的最小值.

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(1)分类讨论:斜率不存在时成立;斜率存在时,先求弦心距,再利用弦长可求斜率,从而可求方程; (2)由于BC长度一定,故求△PBC面积的最小值,即求P的横坐标的最小值,利用PB,PC是圆的切线,可求P的坐标,根据已知,可求其最小值. 【解析】 (1)①当l⊥x轴时,l的方程为x=,满足题意. ②当l与x轴不垂直时,设l:y-=k(x-),即kx-y+=0. 所以圆心M到l的距离d=, 又直线被圆所截弦长为,则d==, 所以=,解得:k=-,所以l:12x+5y-=0. 综上,直线l的方程为x=,或24x+10y-37=0. (2)设PB的斜率为k,则PB:y=kx+t,即kx-y+t=0. 因为PB与圆M相切,所以 =1,得k=. 所以PB:y=x+t. 同理可得PA:y=x+t-4. 由解得xP=. 由==1+. 因为0<t<4,所以0>t2-4t≥-4,所以≤,xP≥. 当t=2时,xP=,此时S△ABC=. 所以△PBC面积的最小值为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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