Question

设F为椭圆的右焦点，过椭圆中心作一直线与椭圆交于P，Q两点，当三角形PFQ的面积最大时，的值为    ．

Answer

椭圆的右焦点F（1，0），要求△PQF的面积的最大值，需要先表示该三角形的面积，故需要设直线PQ的方程，分类讨论①当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx（k≠0），代入椭圆方程，根据方程及弦长公式可求，再求原点到AB的距离d=||，代入面积公式可求，②当直线的斜率不存在时，P（0，），Q（0，-），S=，比较确定取得面积的最大值的点P，Q，代入可求
【解析】
椭圆的右焦点F（1，0）
①当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx（k≠0）
代入椭圆方程可得，
=
原点到AB的距离d=||
=||=||=＜
②当直线的斜率不存在时，P（0，），Q（0，-），S=
，此时，
∴=1×1-=-2
故答案为：-2