(Ⅰ)对函数求导可得可得f(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减,从而可得函数f(x)在x=1处取得极大值.从而可得k+1<1,可求
(Ⅱ)不等式即为 记,利用函数的导数可求函数g(x)的单调区间g(x)在上的最小值,只需g(x)min≥k可求
【解析】
(Ⅰ)因为,x>0,则,…(2分)
当0<x<1时,f′(x>0);当x>1时,f′(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减,…(4分)
所以函数f(x)在x=1处取得极大值.则k+1<1,得k<0…(7分)
(Ⅱ)不等式即为 记,
则= …(9分)
令h(x)=x-lnx,则,当x∈[1,e]时h′(x)≥0,∴h(x)在[1,e]上单调递增,
当时h′(x)<0,∴h(x)在上单调递减,[h(x)]min=h(1)=1>0则g′(x)>0,
故g(x)在上单调递增,…(12分)
则,所以k≤0.…(14分)
由(Ⅰ)知k<0,故对于任意及满足条件中的k值,不等式恒成立.…(15分)