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已知函数在区间(k+1,+∞)上存在极值. (Ⅰ)求出实数k的取值范围; (Ⅱ)...

已知函数manfen5.com 满分网在区间(k+1,+∞)上存在极值.
(Ⅰ)求出实数k的取值范围;
(Ⅱ)对于任意manfen5.com 满分网及满足条件中的k值,不等式manfen5.com 满分网是否能恒成立?并说明理由.
(Ⅰ)对函数求导可得可得f(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减,从而可得函数f(x)在x=1处取得极大值.从而可得k+1<1,可求 (Ⅱ)不等式即为 记,利用函数的导数可求函数g(x)的单调区间g(x)在上的最小值,只需g(x)min≥k可求 【解析】 (Ⅰ)因为,x>0,则,…(2分) 当0<x<1时,f′(x>0);当x>1时,f′(x)<0. 所以f(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减,…(4分) 所以函数f(x)在x=1处取得极大值.则k+1<1,得k<0…(7分) (Ⅱ)不等式即为 记, 则=   …(9分) 令h(x)=x-lnx,则,当x∈[1,e]时h′(x)≥0,∴h(x)在[1,e]上单调递增, 当时h′(x)<0,∴h(x)在上单调递减,[h(x)]min=h(1)=1>0则g′(x)>0, 故g(x)在上单调递增,…(12分) 则,所以k≤0.…(14分) 由(Ⅰ)知k<0,故对于任意及满足条件中的k值,不等式恒成立.…(15分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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