Question

已知函数在区间（k+1，+∞）上存在极值．
（Ⅰ）求出实数k的取值范围；
（Ⅱ）对于任意及满足条件中的k值，不等式是否能恒成立？并说明理由．

Answer

（Ⅰ）对函数求导可得可得f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，从而可得函数f（x）在x=1处取得极大值．从而可得k+1＜1，可求
（Ⅱ）不等式即为 记，利用函数的导数可求函数g（x）的单调区间g（x）在上的最小值，只需g（x）min≥k可求
【解析】
（Ⅰ）因为，x＞0，则，…（2分）
当0＜x＜1时，f′（x＞0）；当x＞1时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，…（4分）
所以函数f（x）在x=1处取得极大值．则k+1＜1，得k＜0…（7分）
（Ⅱ）不等式即为 记，
则=   …（9分）
令h（x）=x-lnx，则，当x∈[1，e]时h′（x）≥0，∴h（x）在[1，e]上单调递增，
当时h′（x）＜0，∴h（x）在上单调递减，[h（x）]min=h（1）=1＞0则g′（x）＞0，
故g（x）在上单调递增，…（12分）
则，所以k≤0．…（14分）
由（Ⅰ）知k＜0，故对于任意及满足条件中的k值，不等式恒成立．…（15分）