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设MN是双曲线的弦,且MN与x轴垂直,A1、A2是双曲线的左、右顶点. (Ⅰ)求...

设MN是双曲线manfen5.com 满分网的弦,且MN与x轴垂直,A1、A2是双曲线的左、右顶点.
(Ⅰ)求直线MA1和NA2的交点的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线y=x-1与轨迹C交于A、B两点,若轨迹C上的点P满足manfen5.com 满分网(O为坐标原点,λ,μ∈R)
求证:manfen5.com 满分网为定值,并求出这个定值.
(Ⅰ)利用交轨法来求直线MA1和NA2的交点的轨迹方程,先根据已知条件求出A1、A2点的坐标,设M(x,y),则N(x,-y),求出直线MA1和NA2的方程,联立方程,方程组的解为直线MA1和NA2交点的坐标,再把M点坐标(x,y)用x,y表示,代入双曲线方程,化简即得轨迹C的方程. (Ⅱ)联立直线y=x-1与轨迹C方程,解出A,B点横坐标之和与之积,因为P,A,B三点都在椭圆上,所以都满足椭圆方成,再根据,得到三点坐标满足的关系式,把P点坐标用A,B坐标表示,代入椭圆方程,根据前面求出的x1+x2,x1x2的值,化简,即可得到的值,为定植. 【解析】 (Ⅰ)∵A1、A2是双曲线的左、右顶点,∴A1(-2,0)A2(2,0) ∵MN是双曲线的弦,且MN与x轴垂直,∴设M(x,y),则N(x,-y) 则直线MA1和NA2的方程分别为y=(x+2),y=(x-2) 联立两方程,解x,y,得 ,∵M(x,y)在双曲线上,代入双曲线方程,得 ,即直线MA1和NA2的交点的轨迹C的方程为 (Ⅱ)联立得7x2-8x-8=0 由韦达定理得 A,B,P三点在上, 知3x12+4y12=12,3x22+4y22=12, ∵,∴P点坐标为(λ2x12+2λμx1x2+μ2x22,λ2y12+2λμy1y2+μ2y22) ∴3(λ2x12+2λμx1x2+μ2x22)+4(λ2y12+2λμy1y2+μ2y22)=12 又 ∴ ∴为定值,且定制为1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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