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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处的切线方程为 y=3x+1, ...

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处的切线方程为 y=3x+1,
(1)若函数y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式;
(2)在(1)条件下,若函数y=f(x)在[-2,m]上的值域为[manfen5.com 满分网],求m的取值范围;
(3)若函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求b的取值范围.
(1)求出导函数,令导函数在1处的值为3,在-2处的值为0,函数在1处的值为4,列出方程组求出a,b,c的值. (2)由(1)得:f(x)=x3+2x2-4x+5,画出它的图象,如图,由图可知,若函数y=f(x)在[-2,m]上的值域为[],m的取值范围. (3)令导函数大于等于0在[-2,1]上恒成立,通过对对称轴与区间关系的讨论求出导函数在区间的最小值,令最小值大于等于0,求出b的范围. 【解析】 (1)f′(x)=3x2+2ax+b ∵曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1. ∴即 ∵函数y=f(x)在x=-2时有极值 ∴f′(-2)=0即-4a+b=-12 ∴ 解得a=2,b=-4,c=5 ∴f(x)=x3+2x2-4x+5 (2)由(1)得:f(x)=x3+2x2-4x+5,画出它的图象,如图, 由图可知, 若函数y=f(x)在[-2,m]上的值域为[], m的取值范围是:[,2]. (3)由(1)知,2a+b=0 ∴f′(x)=3x2-bx+b ∵函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增 ∴f′(x)≥0即3x2-bx+b≥0在[-2,1]上恒成立 f′(x)的最小值为f′(1)=1-b+b≥0∴b≥6 f′(-2)=12+2b+b≥0∴b∈∅ ,f′(x)的最小值为 ∴0≤b≤6 总之b的取值范围是b≥0
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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