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如图所示,平面EAD⊥平面ABCD,△ADE是等边三角形,ABCD是矩形,F是A...

manfen5.com 满分网如图所示,平面EAD⊥平面ABCD,△ADE是等边三角形,ABCD是矩形,F是AB的中点,G是AD的中点,EC与平面ABCD成30°角
(1)求证:EG⊥平面ABCD;
(2)若AD=2,求二面角E-FC-G的度数;
(3)当AD的长是多少时,D点到平面EFC的距离为2?并说明理由.
(1)由已知中,△ADE是等边三角形,G是AD的中点,结合等边三角形“三线合一”的性质,易得EG⊥AD,又由平面EAD⊥平面ABCD,由面面垂直的性质可得EG⊥平面ABCD; (2)连接CG,则CG是EC在平面ABCD的射影,结合已知中EC与平面ABCD成30°角,得∠ECG=30°,解Rt△ECG,Rt△CDG,求出GF,FC,GC的长,易根据勾股定理得到,GF⊥FC,EF⊥FC,故∠EFG是二面角E-FC-G的平面角,解三角形EFG,即可求出二面角E-FC-G的度数. (3)根据VE-DFC=VD-EFC,通过计算底面积,从而可求AD的长 【解析】 (1)证明:如图所示,∵△ADE是等边三角形, ∴EG⊥AD 又平面EAD平面ABCD且相交于AD, ∴EG⊥平面ABCD (2)连接CG,则CG是EC在平面ABCD的射影 ∴∠ECG是EC与平面ABCD所成的角, ∴∠ECG=30° 在Rt△ECG中: ∵AD=2, ∴EG=, ∴CG=3 在Rt△CDG中: ∵DG=1,GC=3, ∴DC= 则AF=BF=,GF=,FC= ∴GF2+FC2=GC2, 即GF⊥FC ∵GF是EF在平面AC内的射影, ∴EF⊥FC ∴∠EFG是二面角E-FC-G的平面角. 在Rt△EGF中,EG=GF= ∴∠EFG=45° 故所求二面角E-FC-G的度数为45° (3)设AD=2a,则可得,S△EFC=3a2 ∵VE-DFC=VD-EFC ∴ ∴ ∴
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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