Question

已知函数．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）用定义证明．

Answer

（1）根据对勾函数的图象和性质，我们易判断出函数f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．
（2）设0＜x1＜x2≤2，根据x1-x2＜0，，可得f（x1）-f（x2）＞0，进而根据减函数的定义得到函数f（x）在（0，2]上单调递减；
设2＜x1＜x2，根据x1-x2＜0，，可得f（x1）-f（x2）＜0，进而根据增函数的定义得到函数f（x）在（0，2]上单调递增．
【解析】
（1）f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．
证明（2）设0＜x1＜x2≤2，则
因0＜x1＜x2≤2，所有x1-x2＜0，，所以f（x1）-f（x2）＞0，
即 f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，2]上单调递减．
设2＜x1＜x2，则
因2＜x1＜x2，所有x1-x2＜0，，所以f（x1）-f（x2）＜0，
即 f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．