Question

过点M（3，0）作直线l与圆x²+y²=25交于A、B两点．
（1）若点P是线段AB的中点，求点P的轨迹方程；
（2）求直线l的倾斜角为何值时△AOB的面积最大，并求这个最大值．

Answer

（1）设出G的坐标，利用Rt△OMP中必有．说明P点的轨迹为以G为圆心为半径的圆，得到P的轨迹方程．
（2）令|OP|=h，由题意知0＜h≤3，求出△AOB的面积的表达式，利用二次函数在闭区间上的最大值求解即可．
【解析】
（1）∵P是AB中点，∴OP⊥AB，取OM中点G，则在Rt△OMP中必有．
∴P点的轨迹为以G为圆心为半径的圆，令P（x，y）则，
即x2-3x+y2=0．
经检验知：AB为x轴及AB∥y轴均满足上式，∴P点的轨迹为x2-3x+y2=0…（6分）
（2）令|OP|=h，由题意知0＜h≤3，
在Rt△APO中，即，=（0＜h≤3）．
令t=h2则 0＜t≤9，
易知，在 0＜t≤9时单调递增．
∴当t=9，即直线AB垂直x轴时，S△ABOmax=12，此时l的倾斜角为90°．