Question

抛物线y²=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，抛物线的焦点为F，AB和CD为过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，中点分别为M和N．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：则直线MN必过定点P，并求出点P的坐标．

Answer

（1）根据抛物线y2=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，所以联立方程，组成的方程组中△=0，即可解出P的值．求出抛物线方程．
（2）欲证明直线MN必过定点P，只需求出含参数的直线MN的方程，观察是否过定点即可．设出A，B，M，N的坐标，用A，B坐标表示M，N坐标，求出直线MN方程，化为点斜式，可以发现直线必过点（3，0），所以命题得证．
（1）由得，y2-2py+2p=0
∵抛物线y2=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，∴△=0
解得，p=2，∴抛物线的方程为y2=4x
（2）证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4）
把直线AB：y=k（x-1）代入y2=4x，得
k2x2-（2k2+4）x+k2=0，∴x3==1+，y3=k（x3-1）=
同理可得，x4=1+2k2，y4=-2k
∴kMN==
∴直线MN为y-=（x-1-），即y=（x-3），过定点P（3，0）．