Question

已知函数f（x）=x^-1e^x的定义域是（0，+∞）．
（1）求函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）∀x∈（0，+∞），不等式xf（x）＞-x²+λx-1恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）先求导函数，根据函数的定义域，可知当x∈（0，1）时，f（x）在（0，1]上递减；当x∈（1，+∞）时，f（x）在[1，+∞）上递增．从而可确定函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）利用分离参数法，问题可转化为∀x＞0，恒成立．由于，当且仅当x=1时取等号，，当且仅当x=1时取等号，从而可知当x=1时，有，故可求实数λ的取值范围．
【解析】
（1），∴．
当x∈（0，1）时，∴f（x）在（0，1]上递减；
当x∈（1，+∞）时，∴f（x）在[1，+∞）上递增．
∴当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上递增，；
当0＜m＜1时，f（x）在[m，1]上递减，在[1，m+1]上递增，f（x）min=f（1）=e．
∴．
（2）∀x＞0，ex＞-x2+λx-1恒成立，即恒成立．
由（1）可知，，当且仅当x=1时取等号，
又，当且仅当x=1时取等号，
∴当且仅当x=1时，有．
∴λ＜e+2．