Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象过A（t₁，y₁）、B（t₂，y₂）两点，且满足a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0．
（1）证明y₁=-a或y₂=-a；
（2）证明函数f（x）的图象必与x轴有两个交点；
（3）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}，解关于x的不等式cx²-bx+a＞0．

Answer

（1）由题知a2+（y1+y2）a+y1y2=0解得y1或y2即可；
（2）讨论a＞0，函数为开口向上的抛物线，a＜0时函数图象开口向下，由（2）得图象上的点A、B的纵坐标大于小于0得到与x轴有两个交点即可；
（3）根据已知不等式的解集得到a的符号且可得ax2+bx+c=0的两根为m，n，然后利用根与系数的关系化简不等式求出解集即可．
【解析】
（1）证明：∵a2+（y1+y2）a+y1y2=0，
∴（a+y1）（a+y2）=0，得y1=-a或y2=-a．
（2）证明：当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，图象上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a且小于零，
∴图象与x轴有两个交点．
当a＜0时，二次函数f（x）的图象开口向下，图象上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a且大于零，
∴图象与x轴有两个交点．
故二次函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）∵ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}．
根据一元二次不等式大于0取两边，从而可判定a＞0，
并且可得ax2+bx+c=0的两根为m，n，
∴
∴==-．
而cx2-bx+a＞0⇔x2-x+＞0⇔x2+（）x+＞0⇔（x+）（x+）＞0，
又∵n＜m＜0，∴-＜-，∴x＞-或x＜-．
故不等式cx2-bx+a＞0的解集为{x|x＞-或x＜-}．