Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a、b为常数且a≠0）满足条件：f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在（x∈[t，t+1]，t∈R）的最大值为u（t），求u（t）解析式．

Answer

（1）先由f（-x+5）=f（x-3）得函数对称轴，再由方程f（x）=x有等根，得方程f（x）=x的判别式等于零，最后解方程即可
（2）根据对称轴与区间[t，t+1]的相对位置关系和函数的单调性，分别讨论函数的最值，最后写成分段函数形式即可
【解析】
（1）∵f（-x+5）=f（x-3），∴函数的对称轴为x=1，即=1
∵方程f（x）=x有等根，∴△=（b-1）2=0
∴b=1，a=-
∴．
（2）∵的开口向下，对称轴为x=1
∴当t≥1时，函数f（x）在[t，t+1]上为减函数，最大值为u（t）=f（t）=-t2+t
当0＜t＜1时，函数f（x）最大值为u（t）=f（1）=
当t≤0时，函数f（x）在[t，t+1]上为增函数，最大值为u（t）=f（t+1）=-t2+
∴