Question

已知定义域为[0，1]的函数f （x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f （x）的最大值；
（3）试证明：当x时，f（x）＜2x．

Answer

（1）令x1=x2=0，依条件③可得f（0）≤0，又由条件（1）得f（0）≥0，利用夹逼法则可求出f（0）的值；
（2）任取0≤x1＜x2≤1，然后根据f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1），可得函数的单调性，从而求出函数的最大值；
（3）当x∈时，可得f（x）≤f（1）=1，当x时，则＜2x≤1，根据③可证得结论．
【解析】
（1）令x1=x2=0，依条件③可得f（0+0）≥2f（0），即f（0）≤0
又由条件（1）得f（0）≥0 故f（0）=0（4分）
（2）任取0≤x1＜x2≤1可知x2-x1∈（0，1]，则
f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1）
于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1因此当x=1时，f（x）取最大值1．（9分）
（3）证明：当x∈时，f（x）≤f（1）=1
当x时，＜2x≤1，f（2x）≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x）
∴f（x）≤f（2x）≤＜2x   即f（x）＜2x．（14分）