Question

设函数f（x）=x³+bx²+4cx+d的图象关于原点对称，f（x）的图象在点P（1，m）处的切线的斜率为-6，且当x=2时，f（x）有极值．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）求f （x）的单调区间；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤．

Answer

（1）欲求实数a、b、c、d的值，利用在x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率结合f′（2）=0．从而问题解决．
（2）把（1）求出的实数a、b、c、d的值代入导函数中确定出解析式，令导函数等于0求出x的值，根据x的值分区间讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间．
（3）由（2）知f（x）在[-1，1]上单调递减，当x∈[-1，1]时 f（1）≤f（x）≤f（-1）即|f（x）|≤，进一步得到|f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+|f（x2）|≤+=从而得到证明．
【解析】
（1）f′（x）=ax2+2bx+4c由条件可得b=d=0，f'（1）=-6，f′（2）=0
∴a+4c=-6，4a+4c=0 解得 a=2，c=-2
故a=2，b=0，c=-2，d=0．′（4分）
（2）∵f（x）=x3-8x，∴f'（x）=2x2-8=2（x+2）（x-2）
令f'（x）＞0得x＜-2或x＞2，令f′（x）＜0得-2＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间为（和[2，+∞）；f（x）的单调减区间为[-2，2]．（8分）
（3）证明：由（2）知f（x）在[-1，1]上单调递减
∴当x∈[-1，1]时 f（1）≤f（x）≤f（-1）即≤f（x）≤亦即|f（x）|≤
故当x1，x2∈[-1，1]时，|f（x1）|≤，|f（x2）|≤．
从而|f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+|f（x2）|≤+=
即|f（x1）-f（x2）|≤．…（5分）