Question

已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B、C两点，且AB⊥AC，|BC|=6．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点F且不垂直于x轴的直线l与双曲线分别交于点P、Q，请问：是否存在直线l，使△APQ构成以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意得A（-a，0），F（c，0），BC⊥x轴，所以．由此能求出双曲线的方程．
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2）．由得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0．由l与双曲线有两个交点，故k2-3≠0.．要使△APQ成等腰直角三角形，则需AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|
由AP⊥AQ，得（x1+1）（x2+1）+y1y2=0．由此能导出所求直线方程．
【解析】
（1）由题意得A（-a，0），F（c，0），BC⊥x轴，
∴．…（2分）
∴c=2a…（3分）
又|BC|=6，
∴…（4分）
∴a2=1，b2=3，
∴所求双曲线的方程为．…（6分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2）．
由，
得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0．…（7分）
∵l与双曲线有两个交点，故k2-3≠0．
∴…（8分）
要使△APQ成等腰直角三角形，
则需AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|
由AP⊥AQ，
得（x1+1）（x2+1）+y1y2=0…（10分）
即，
对k∈R，且恒成立  （12分）
由|AP|=|AQ|得

解得即…（14分）
综上所述，所求直线存在，其方程为（15分）