Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．
（1）求抛物线方程；
（2）过焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A，B两点，求 A B的中点C到抛物线准线的距离．

Answer

（1）抛物线，由此能求出抛物线方程．
（2）由点F的坐标是（1，0），知AB的方程为y=x-1，由得x2-6x+1=0．由此能求出AB的中点C到抛物线准线的距离．
【解析】
（1）抛物线，
∴p=2．
∴抛物线方程为y2=4x．…（4分）
（2）∵点F的坐标是（1，0），
所以AB的方程为y=x-1，…（6分）
由消y得x2-6x+1=0…（8分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=6，
所以C点的横坐标为xC=3…（10分）
所以AB的中点C到抛物线准线的距离为xC+1=4．…（12分）