Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足下列条件：
①对任意的x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）；
②当x＞0时，f（x）＜0．
（1）证明f（x）在R上是减函数；
（2）在整数集合内，关于x的不等式f（x²-4）-f（2x-2a）＞f（0）的解集为{1}，求实数a的取值范围．

Answer

（1）首先取x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0，令y=-x，再取y=-x，可以证出f（-x）=-f（x），得函数f（x）在R上是奇函数，最后可以用定义证出f（x）在R上是减函数；
（2）原不等式等价于：x2-4＜2x-2a即x2-2x+2a-4＜0，设其左边为函数g（x）=x2-2x+2a-4，通过讨论函数值
g（0），g（1）和g（2）的正负，建立不等式组，可解出实数a的取值范围．
【解析】
（1）当时x=y=0，f（0）=f（0）+f（0），
得f（0）=0，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x）∴f（x）在R上是奇函数，
设x1＞x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）
=f（x1-x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上是减函数（6分）
（2）f（x2-4）-f（2x-2a）＞f（0）等价于
x2-4＜2x-2a即x2-2x+2a-4＜0（8分）
令g（x）=x2-2x+2a-4
根据题意，的实数a的取值范围为
∴（12分）