Question

已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，若存在实数m、n使得h（x）=m•f（x）+n•g（x），则称h（x）为f（x）、g（x）在R上生成的函数．若f（x）=2cos²x-1，g（x）=sinx．
（1）判断函数y=cosx是否为f（x）、g（x）在R上生成的函数，并说明理由；
（2）记l（x）为f（x）、g（x）在R上生成的一个函数，若，且l（x）的最大值为4，求l（x）．

Answer

（1）假设函数y=cosx是f（x）、g（x）在R上生成的函数，则存在实数m、n使得cosx=m（2cos2x-1）+nsinx，令x=0，得1=m+0①，令x=π，得-1=m②由①②进行推导即可判定
（2）由题意可设l（x）=a（2cos2x-1）+bsinx（a，b∈R），则由，可得a+b=4，即l（x）=-2asin2x+（4-a）sinx+a，设t=sinx，则函数l（x）可化为：y=-2at2+（4-a）t+a，t∈[-1，1]，结合函数的性质求解函数的最大值即可
【解析】
（1）函数y=cosx不是f（x）、g（x）在R上生成的函数．
理由：假设函数y=cosx是f（x）、g（x）在R上生成的函数，
则存在实数m、n使得cosx=m（2cos2x-1）+nsinx
令x=0，得1=m+0①
令x=π，得-1=m②
由①②矛盾知：函数y=cosx不是f（x）、g（x）在R上生成的函数
（2）设l（x）=a（2cos2x-1）+bsinx（a，b∈R）
则，∴a+b=4，∴l（x）=-2asin2x+（4-a）sinx+a
设t=sinx，则函数l（x）可化为：y=-2at2+（4-a）t+a，t∈[-1，1]
当a=0时，函数化为：y=4t，t∈[-1，1]
∵当t=1时，ymax=4∴l（x）=4sinx，符合题意
当a＞0时，函数化为：
当时，即时
∵当t=1时，ymax=4-2a
∴由4-2a=4得a=0，不符合a＞0舍去
当时，即或（舍去）时
∵当时，
∴由，得a=4或（舍去）
∴b=0∴l（x）=4（2cos2x-1），符合题意
当时，即时，不符合a＞0舍去
当a＜0时，函数的对称轴
∵当t=1时，ymax=4-2a
∴由ymax=4-2a=4得a=0，不符合a＜0舍去
综上所述，l（x）=4sinx或l（x）=4（2cos2x-1）