Question

已知函数f（x）=2x²+（4-m）x+4-m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，求实数m的取值范围．

Answer

不论m为何值，对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，所以对m分类讨论，即m=0、m＜0、m＞0 讨论f（x）与g（x）的值的正负，求出满足题意的m的值．
【解析】
当m=0时，f（x）=2x2+4x+4，g（x）=0，
∵f（x）=2（x+1）2+2＞0，∴m=0符合题意．
若m＜0，在x＜0时，g（x）＞0，在x≥0时，g（x）≤0，
∴需要f（x）=2x2+（4-m）x+4-m＞0在[0，+∞）上恒成立．
∵，∴f（0）=4-m＞0，∴m＜4，∴m＜0符合题意．
若m＞0，在x＞0时，g（x）＞0，在x≤0时，g（x）≤0，
∴需要f（x）=2x2+（4-m）x+4-m＞0在（-∞，0]上恒成立．
∴或，
综上可知m＜4．