Question

已知关于x的二次方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）对一切m∈R恒有实数解，则点（a，b）在平面ab上的区域面积为    ．

Answer

先将关于x的二次方程（x-1）（x-2）=m（x-a2-b2）可化为x2-（3+m）x+2+m（a2+b2）=0，根据方程（x-1）（x-2）=m（x-a2-b2）对一切m∈R恒有实数解，△≥0，得到m2+[6-4（a2+b2）]m+1≥0，恒成立，从而得：△′≤0，得出1≤a2+b2≤2，则点（a，b）在平面ab上的区域是圆环，最后求得其面积．
【解析】
关于x的二次方程（x-1）（x-2）=m（x-a2-b2）可化为：
x2-（3+m）x+2+m（a2+b2）=0，
∵方程（x-1）（x-2）=m（x-a2-b2）对一切m∈R恒有实数解，
∴△≥0，即（3+m）2-4[2+m（a2+b2]≥0，
化简得：m2+[6-4（a2+b2）]m+1≥0，
从而得：△′≤0，
即[6-4（a2+b2）]2-4≤0，
1≤a2+b2≤2，
则点（a，b）在平面ab上的区域是圆环，其面积为，
故答案为：π．