Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x²+4x-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|；
（Ⅲ）对任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|≤1．

Answer

（I）根据g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（x+1）=g（1-x）即f（x）=g（2-x），从而可求出-1≤x≤0时函数f（x）的解析式，最后根据奇偶性求出函数在0＜x≤1上的解析式；
（II）当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，0＜x1+x2＜2，代入解析式进行化简变形，即可证得结论；
（III）当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，0≤x12≤1，0≤x22≤1∴-1≤x22-x12≤1即|x22-x12|≤1，即可证得结论．
【解析】
（Ⅰ）由题意知f（x+1）=g（1-x）⇒f（x）=g（2-x）
当-1≤x≤0时，2≤2-x≤3，f（x）=-（2-x）2+4（2-x）-4=-x2
当0＜x≤1时，-1≤-x＜0∴f（-x）=-x2，
由于f（x）是奇函数∴f（x）=x2∴
（Ⅱ）当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，0＜x1+x2＜2，
∴|f（x2）-f（x1）|=|x22-x12|=|（x2-x1）（x2+x1）|＜2|x2-x1|
（Ⅲ）当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，0≤x12≤1，0≤x22≤1，
∴-1≤x22-x12≤1即|x22-x12|≤1．∴|f（x2）-f（x1）|=|x22-x12|≤1．