Question

给出定义：若m-（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．现给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]； ②y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
③y=f（x）在[-]上是增函数；      ④y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称．
A．①②
B．②④
C．①②③
D．①②④

Answer

本题为新定义问题，由已知中若m-（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．因为m为整数，故可取m为几个特殊的整数进行研究．
【解析】
由题意x-{x}=x-m，f（x）=|x-{x}|=|x-m|，
m=0时，-＜x≤，f（x）=|x|，
m=1时，1-＜x≤1+，f（x）=|x-1|，
m=2时，2-＜x≤2+，f（x）=|x-2|，
由图象可知：
①y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]，正确；
②y=f（x）是周期函数，最小正周期为1，正确；
③y=f（x）在[-]上是增函数，错误；     
④y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称，正确；
故选D