Question

已知函数f（x）=-alnx（a∈R）．
（1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer

（1）求出函数的导数f′（x），根据x=2是f′（x）一个极值点，利用f′（2）=0，可得a=4，再检验当a=4时，x=2是f（x）的极小值点符合题意；
（2）讨论导数的零点，可得当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，+∞），单调递减区间为．
【解析】
（1，∵x=2是一个极值点，
∴，∴a=4．
此时=．
∵f（x）的定义域是{x|x＞0}，
∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0．
∴当a=4时，x=2是f（x）的极小值点，∴a=4．（6分）
（2）∵，∴当a≤0时，
f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
当a＞0时，=，
令f′（x）＞0有，∴函数f（x）的单调递增区间为，+∞）；
令f′（x）＜0有，
∴函数f（x）的单调递减区间为．（12分）