Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中E为AB的中点．
（1）求直线A₁C₁与平面A₁B₁CD所成角大小；
（2）试确定直线BC₁与平面EB₁D的位置关系，并证明你的结论；
（3）证明：平面EB₁D⊥平面B₁CD．

Answer

（1）根据正方体的结构特征，我们可得BC1⊥平面A1C，进而∠C1A1H是直线A1C1与平面A1B1CD所成角，解三角形C1A1H即可得到直线A1C1与平面A1B1CD所成角大小；
（2）取DB1的中点O，由三角形中位线定理及正方体的几何特征，可得四边形OHBE是平行四边形，进而BH∥EO，由线面平行的判定定理可得EO∥平面EB1D，即BC1∥平面EB1D
（3）结合（1），（2）中BC1⊥平面A1C，BH∥EO，由线面垂直的第二判定定理可得EO⊥平面B1CD，再由面面垂直的判定定理可得平面EB1D⊥平面B1CD．
【解析】
（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中
A1B1⊥平面BC1
∴A1B1⊥BC1
又∵B1C⊥BC1
∴BC1⊥平面A1C
设B1C∩BC1=H，
则∠C1A1H是直线A1C1与平面A1B1CD所成角
又∵A1C1=a，C1H=
∴sin∠C1A1H=
∴∠C1A1H=30°
（2）直线BC1∥平面EB1D，理由如下：
取DB1的中点O，则OH∥DC∥AB，OH=EB
∴四边形OHBE是平行四边形
∴BH∥EO
∴EO∥平面EB1D，
∴BC1∥平面EB1D
证明：（3）∵BC1⊥平面A1C，BH∥EO
∴EO⊥平面B1CD
∵EO⊂平面EB1D
平面EB1D⊥平面B1CD