Question

已知等比数列{a_n}的公比q＞1，且a₁与a₄的一等比中项为，a₂与a₃的等差中项为6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n；
（3）设S_n为数列{a_n}的前n项和，c_n=S_n+3+（-1）ⁿ⁺¹a_n²（n∈N^*），请比较c_n与c_n+1的大小，并加以说明．

Answer

（1）利用等比数列的性质得到a2•a3=a1•a4，根据已知条件列出关于a2，a3的方程解方程求出a2，a3，进一步求出公比，利用等比数列的通项公式求出数列{an}的通项公式
（2）求出数列{an•bn}的通项，根据其特点是一个等差数列与一个等比数列的积，利用错位相减法求出其和．
（3）利用等比数列的前n项和公式求出Sn，将其带代入cn，表示出cn+1，作差通过对差的变形，对n的讨论得到差的符号，进一步比较出两个数的大小．
【解析】
（1）由题意得，
解得或
由公比q＞1，可得a2=4，a3=8，
故数列{an}的通项公式为an=a2qn-2=2n
（2）an•bn=n•2n
Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n①
2Tn=，1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1②
①-②得Tn=（n-1）•2n+1+2
（3）a1=2，
cn=Sn+3+（-1）nan2=（2n+4-2）+（-1）n+122n，
cn+1=（2n+5-2）+（-1）n22（n+1），
cn+1-cn=2n[16+5（-1）n2n]．
当n=1或为正偶数时，cn+1-cn＞0，
cn+1＞cn；
当n正奇数且n≥3时，cn+1-cn=2n（16-5×2n）≤2n（16-5×23）＜0，
cn+1＜cn..