Question

已知定义域为R的函数为奇函数．
（1）求a的值．
（2）证明函数f（x）在R上是减函数．
（3）若不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0对任意的实数t 恒成立，求k的取值范围．

Answer

（1）利用奇函数定义f（x）=-f（x）中的特殊值求a的值；
（2）按按取点，作差，变形，判断的过程来即可．
（3）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．
【解析】
（1）因为f（x）是奇函数，函数的定义域为R，所以f（x）=0，
即 =0⇒a=-
（2）证明；设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=
∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，故 2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0．
即f（x1）-f（x2）＞0．
∴f（x）在R上是单调减函数
（3）由（2）知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0
等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2-2t＞k-2t2．
即对一切t∈R有：3t2-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0⇒k＜-．
所以k的取值范围是k＜-．