Question

若a₁＞0，a₁≠1，a_n+1=（n=1，2，…）
（1）求证：a_n+1≠a_n；
（2）令a₁=，写出a₂、a₃、a₄、a₅的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a_n；
（3）证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值．

Answer

（1）利用反证法，若an+1=an，即=an，解得 an=0或1，结论与题干条件矛盾，
（2）根据an+1=，a1=，求出a2=，a3=，a4=，a5=，观察各项分子通项为2n-1，分母通项为2n-1+1，于是可以写出通项公式an，
（3）因为=，又=-q，据此可以求出（2+p-2q）an=p（1-2p），故能求出q和p的值．
【解析】
（1）采用反证法．若an+1=an，即=an，解得 an=0或1，
从而an=an1=…a2=a1=0或1与题设a1＞0，a1≠1相矛盾，故an+1≠an成立．
（2）a1=，a2=，a3=，a4=，a5=，an=．
（3）因为=，又=-q，
所以（2+p-2q）an=p（1-2p），
因为上式是关于变量an的恒等式，故可解得q=、p=-1．