(I)利用二倍角公式,平方关系,两角和的正弦函数,化简函数y=2cos2x+sin2x-+1,为一个角的一个三角函数的形式,然后直接求出最小正周期;
(II)将2x+看成整体在[2kπ-,2kπ+]上单调递增,然后求出x的取值范围,从而求出函数的单调增区间.
(III)根据x∈[-,],求出2x+的范围,从而求出sin(2x+)的取值范围,从而求出f(x)的值域.
【解析】
f(x)=sin2x+(2cos2x-1)+1
=sin2x+cos2x+1
=2sin(2x+)+1---------------------------------------(4分)
(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期为T==π------------------(5分)
(Ⅱ)由2kπ-≤2x+≤2kπ+
得2kπ-≤2x≤2kπ+
∴kπ-≤x≤kπ+,k∈Z
函数f(x)的单调增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z-----------------(9分)
(Ⅲ)因为x∈[-,],∴2x+∈[-,],
∴sin(2x+)∈[,1],∴f(x)∈[0,3].-----------------------------------(13分)