Question

已知函数满足f（-1）=0，且对任意x＞0都有．
（1）求f（1）的值；
（2）求a，b，c的值；
（3）若在（0，2]上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer

（1）对赋值x=1，则可求；
（2）由f（-1）=0，f（1）=1，建立方程组，再借助于对任意x＞0都有，从而问题得解；
（3）利用单调性的定义，设0＜x1＜x2≤2可有，从而1-m＞x1x2恒成立，而0＜x1x2＜4，所以1-m≥4，故可求实数m的取值范围．
【解析】
（1）由，令x=1，得1≤f（x）≤1，∴f（1）=1．
（2）由f（-1）=0，f（1）=1，得．
当x≥0时，
①②
由①式a≤0显然不成立，∴a＞0，∵Q（x）=2ax2-x+（1-2a）的图象的对称轴为，
∴△=1-8a（1-2a）≤0，即（4a-1）2≤0，∴，
从而，而此时②式为（x-1）2≥0，∴．
（3），设0＜x1＜x2≤2，则，∵x1-x2＜0，x1x2＞0，
∴x1x2-（1-m）＜0，即1-m＞x1x2恒成立，而0＜x1x2＜4，∴1-m≥4，
∴m≤-3．