Question

设函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当lnx＜ax（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：．

Answer

（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间；（Ⅱ）根据函数的导数与最值的关系确定实数a的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a=1时，f（x）=lnx-x的最大值为-1，从而可证．
【解析】
…（2分）
（Ⅰ）∵x＞0所以当a≤0时，，f（x）在（0，+∞）是增函数…（4分）
当a＞0时，f（x）在上在上，
故f（x）在上是增函数，f（x）在上是减函数…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a≤0时，f（x）＜lnx-ax＜0在（0，+∞）上不恒成立；…（8分）
当a＞0时，f（x）在处取得最大值为，
因此，即时，f（x）＜lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，
即lnx＜ax在（0，+∞）上恒成立．
所以当lnx＜ax在（0，+∞）上恒成立时，a的取值范围为…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a=1时，f（x）=lnx-x的最大值为-1
所以lnx≤x-1（当且仅当x=1时等号成立），令，
则得，即，…（12分）
从而得，由函数y=lnx的单调性得…（14分）