Question

已知当x=5时，二次函数f（x）=ax²+bx+c取得最小值，等差数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），a₂=-7．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}的前n项和为T_n，且，证明．

Answer

（I）利用二次函数在对称轴处取得最小值列出关于a，b的等式；利用数列的通项与前n项和的关系得到通项的形式，利用已知条件a2=-7求出参数a的值，进一步得到数列{an}的通项公式．
（II）求出数列{bn}的通项，根据其通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成，所以利用错位相减法求出前n项和
Tn，分n≤4和n＞4进行证明．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=a+b+c，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+b-a，
又a1适合上式，得2a+b-a=a+b+c，∴c=0．
由已知，
解方程组得
∴an=2n-11．
（Ⅱ），
∴①②
①-②得
==，
∴．
则，，，
当n≥4时，，∴，
综上，得．