Question

已知函数，x∈（0，+∞）．
（1）用函数单调性的定义证明：f（x）在其定义域上是单调增函数；
（2）若f（3^x-2）＞f（9^x），求x的取值范围．

Answer

（1）利用定义法证明单调性，按步骤：取，作差，判断差的符号，得出结论，证明即可；
（2）由（1）函数是增函数，由此可将不等式f（3x-2）＞f（9x）转化为3x-2＞9x，解此指数型不等式，求x的取值范围
【解析】
（1）任取x1，x2∈（0，+∞）．令x1＜x2
f（x1）-f（x2）=-（）=（x1-x2）+（-）=（x1-x2）×（1+）
∵x1，x2∈（0，+∞）．x1＜x2
∴x1-x2＜0，1+＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，
故f（x）在其定义域上是单调增函数；
（2）由（1）证明知f（x）在其定义域上是单调增函数，又f（3x-2）＞f（9x），
∴3x-2＞9x，即3x-2＞32x，
∴x-2＞2x，得x＜-2
x的取值范围是x＜-2