Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=AA₁=，且AA₁⊥底面ABC，点D是AB的中点，点E是BB₁的中点．
（1）求证：A₁B⊥平面CDE；
（2）求直线A₁C与平面CDE所成的角；
（3）求三棱锥A₁-CDEDE 体积．

Answer

（1）欲证A1B⊥平面CDE，只需证明A1B垂直平面CDE内两条相交直线即可，而A1B⊥DE，CD⊥A1B，CD∩DE=D，CD，DE⊂面CDE，满足线面垂直的判定定理，结论得证；
（2）根据CF为A1C在面CDE上的射影，则∠A1CF是A1C和面CDE所成的角，在Rt△A1FC中求出此角即可；
（3）在Rt△CDE中，求出CD，DE的长，以及，最后根据三棱锥的体积公式进行求解即可．
【解析】
（1）∵AA1⊥底面ABC，CD⊂面ABC
∴AA1⊥CD
∵AC=BC，点D是AB的中点
∴AB⊥CD
∵AA1∩AB=A，AA1，AB⊂面A1ABB1∴CD⊥面A1ABB1
∵A1B⊂面A1ABB1
∴CD⊥A1B
∵正方形A1ABB1中，DE∥AB1，A1B⊥AB1
∴A1B⊥DE
∵CD∩DE=D，CD，DE⊂面CDE
∴A1B⊥面CDE
（2）设AB1∩DE=F，
∵A1B⊥面CDE∴CF为A1C在面CDE上的射影
∴∠A1CF是A1C和面CDE所成的角
在Rt△A1FC中，A1F=3，A1C=，∴，
∴∠A1CF=60°，∴A1C和面CDE所成的角为60°
（3）在Rt△CDE中，CD=，DE=2，∴
∴