Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，，点D是AB的中点，点E是BB₁的中点．
（1）求证：A₁B⊥平面CDE；
（2）求三棱锥A₁-CDE的体积．

Answer

（1）先证CD⊥平面ABB1A1，可得A1B⊥CD，再由正方形的性质可得A1B⊥DE，从而证得A1B⊥平面CDE．
 （2）求出棱锥的底面CDE的面积，再求出锥高A1M，代入体积公式进行运算．
【解析】
（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB中点，CD⊥AB，又BB1⊥CD，∴CD⊥平面ABB1A1 ．
又∵A1B⊂平面ABB1A1，∴A1B⊥CD，又∵ABB1A1是正方形，AB1∥DE，A1B⊥DE．
CD∩DE=D，A1B⊥平面CDE．
（2），，∴，A1M=A1B-BM=4-1-3，
∴．