(1)求导,令f′(x)>0,令f′(x)<0分别得x的取值范围,即为f(x)的单调区间.
(2)由曲线y=g(x)在点M和N处的切线都与y轴垂直,知g′(a)=g′(b)=0,得a,b,又方程g(x)=0在区间[a,b]上有解,知曲线g(x)在区间[0,2t]上与x轴相交,由(1)知g(x)在[0,2t]上单调,可得g(0)g(2t)≤0,解不等式得实数t的取值范围.
【解析】
(1)由g'(x)=3x2-6tx>0和g′(x)=3x2-6tx<0(t>0)
知g(x)在(-∞,0)和(2t,+∞)上是增函数,
g(x)在(0,2t)上是减函数
即g(x)单调递增区间为(-∞,0)和(2t,+∞),
g(x)单调递减区间为(0,2t).(6分)
(2)由曲线y=g(x)在点M(a,g(a))和N(b,g(b))(a<b)处的切线都与y轴垂直知,
g′(a)=g′(b)=0,又a<b,所以a=0,b=2t,
若方程g(x)=0在区间[a,b]上有解,即曲线g(x)在区间[0,2t]上与x轴相交,
又g(x)在[0,2t]上单调,所以g(0)g(2t)≤0,
即t2(3t-1)(4t2+3t-1)≤0,
得t∈[,].(12分)