Question

已知点M（2，1）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上，椭圆的两个焦点F₁（-2，0）和F₂（2，0），斜率为-1的直线l与椭圆C相交于不同的P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点B的坐标为（0，2），是否存在直线l，使△BPQ为以PQ为底边的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由半焦距c=2，点M（2，1）在椭圆C上，可得|MF2|，|MF1|；由|MF1|+|MF2|=2a，可得a的值，从而得椭圆C的方程．
（Ⅱ）设PQ的中点为R，直线l的方程为y=-x+m；由，得5x2-8mx+4m2-16=0（*）；要使l与椭圆C相交于不同的P、Q两点，则有△＞0，可得|m|＜2 ①，由（*）和中点坐标知xR，yR；且|BP|=|BQ|，得BR⊥PQ，即得kRQ的值；从而解得m的值，得满足条件的直线l．
【解析】
（Ⅰ）依题意知，半焦距c=2，由点M（2，1）在椭圆C上，得|MF2|=1，|MF1|=7；∴2a=|MF1|+|MF2|=8；∴a=4，∴b2=a2-c2=4；所以，椭圆C的方程为：+=1．
（Ⅱ）设PQ的中点为R，直线l的方程为y=-x+m；
由，得5x2-8mx+4m2-16=0（*）；
要使l与椭圆C相交于不同的P、Q两点，则有△＞0；
∴△=（-8m）2-4×5（4m2-16）=16（-m2+20）＞0，
化简，得|m|＜2．  ①
由（*）知：xR==m，yR=-xR+m=m．
且|BP|=|BQ|，所以BR⊥PQ，即kRQ•（-1）=-1；
所以==1，解得m=-．
因为＜2，所以m=-适合①． 
所以存在满足条件的直线l；y=-x-．