Question

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件．记动点P的轨迹为W．若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点．
（1）求W的方程；
（2）若AB的斜率为2，求证为定值．
（3）求的最小值．

Answer

（1）据题意应为双曲线一支，由，能得到曲线方程．
（2）设AB：y=2x+b，将其代入x2-y2=2，得3x2+4bx+b2+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理能够证明为定值．
（3）法一：当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x，此时A（x，），B（x，-），=2．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，代入双曲线方程中，得：（1-k2）x2-2kbx-b2-2=0．依题意知，由此能够解得的最小值为2．
法二：，A，B在右支，故x1，x2＞0，=．由此能够解得的最小值为2．
【解析】
（1）据题意应为双曲线一支，
，
∴曲线方程为x2-y2=2（x≥）．（2分）
（2）设AB：y=2x+b，
将其代入x2-y2=2，得3x2+4bx+b2+2=0…（1）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1，x2为（1）的两根．，
=，是定值．（8分）
（3）法一：当直线AB的斜率不存在时，
设直线AB的方程为x=x，
此时A（x，），B（x，-），=2
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y=kx+b，
代入双曲线方程中，
得：（1-k2）x2-2kbx-b2-2=0
依题意可知方程1？有两个不相等的正数根，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
解得|k|＞1，
又=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）
=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=＞2   
  综上可知的最小值为2（14分）
法二：，A，B在右支，
故x1，x2＞0，

=
≥
=|y1y2|+2+y1y2≥2，y1=-y2时，“=”成立，
故的最小值为2．